[수학]세상에서 가장 아름다운 수식, 오일러 항등식 | 밸류체인타임스

안현준 인재기자
2024-02-24
조회수 3631

[밸류체인타임스=안현준 인재기자] 2014년 영국 UCL의 세미르 제키 연구팀은 한 실험을 진행한다. 바로 수학자 15명에게 수학 공식 60개의 아름다운 정도를 측정하는 실험이었다. 연구진들은 처음에 설문조사를 했고 두번째는 뇌혈류의 산소량을 반복적으로 측정하여 뇌가 활성화된 정도를 확인하기 위하여 기능성 자기공명영상(fMRI)을 사용했다.


실험결과, 수학자들이 고른 가장 아름다운 수식은 오일러 항등식과 피타고라스 공식, 코시-리만 방정식이었다. 가장 아름답지 않다고 생각한 수식은 라마누잔의 무한급수였다. 15명의 수학자들이 60개의 수식 중에서 가장 아름답다고 평한 오일러 항등식은 무엇일까?

첫번째 수식이 바로 오일러 항등식이다. 두번째 수식은 오일러 공식이다. 오일러 항등식은 오일러 공식에서 x에 π를 대입시킨 특수한 경우이다. 오일러 공식의 x자리에 π를 넣게되면 e^iπ = cosπ + isinπ가 된다. 이때 cosπ는 -1, sinπ는 0이므로 식은 e^iπ = -1이 된다. 이때 우변의 -1을 좌변으로 이항시키면 오일러 항등식이 되는 것이다.


오일러 항등식의 특이한 점은 서로 다른 분야에서 사용되는 수인 0, 1, 자연로그의 밑 e, 원주율 π, 허수단위 i를 모두 사용하여 하나의 항등식으로 만들었다는 점이다. 여기서 0은 덧셈 항등식, 1은 곱셈 항등식, e와 π는 가장 기본적인 초월수 2개다.


오일러 공식의 특이한 점은  지수함수와 삼각함수를 연결시켰다는 점이다. 이를 통해 우리는 복소수를 사용하여 복잡하게 계산할 필요 없이 오일러 공식으로 간단하게 계산할 수 있게 됐다. 또한 양자 역학에서 파동성을 갖는 물질을 표현하기 위해 슈뢰딩거의 파동방정식을 사용한다. 슈뢰딩거의 파동방정식에는 삼각함수가 사용되는데,  이때 오일러 공식을 사용하여 지수함수의 밑을 e로 만들어 미적분하기 쉽게 만든다.

오일러 공식과 항등식은 우리가 일반적으로 아는 실수로 좌표평면이 아닌 가로축에 실수를 두고 세로축에 허수를 둔 복소평면에 나타내야 한다. 오일러 공식은 복소평면에서 원점을 중심으로 일정한 속도로 원운동하는 물체의 방정식이라고 할 수 있다. 이를 전자공학적 측면에서 보면 회전하는 코일에 순간적으로 유도되는 전류가 어떻게 변화하는지 알 수 있다. 기본적인 전기의 흐름에서도 오일러 공식이 중요한 역할을 한다.



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