[수학] 세상에서 가장 빠른 곡선, 사이클로이드 곡선 | 밸류체인타임스

안현준 인재기자
2023-09-03
조회수 18774

그림1

[밸류체인타임스=안현준 인재기자] 그림1의 상황에서 점A에서 점B까지 가장 빨리 갈 수 있는 선은 어떤 선일까? 일반적으로는 점A와 점B를 잇는 선분이 가장 빨리 갈 수 있는 선이라고 생각할 것이다. 하지만 점A에서 점B까지 가장 빨리 갈 수 있는 선은 선분AB가 아닌 사이클로이드 곡선이다.


사이클로이드곡선



사이클로이드 곡선이란 한 원이 존재할 때, 그 원의 둘레 위에 한 점을 찍는다. 점을 찍은 후, 원을 굴린다. 원을 굴렸을 때 원의 둘레에 찍은 점의 자취가 사이클로이드 곡선이다. 사이클로이드 곡선은 일정한 모양이 반복되는데, 위의 그림은 사이클로이드 곡선 중 일부분을 가지고 온 모양이다.


사이클로이드 곡선의 특징은 여러가지가 있는데 그중 가장 잘 알려진 것이 최단강하곡선과 등시곡선이다. 먼저 최단강하곡선이란 한점에서 다른점까지 가는데 걸리는 시간이 가장 짧은 곡선을 말한다. 위의 사이클로이드 곡선에서 선분OB를 잇는 선이 4가지가 있는데 이중 O에서 B까지 가는데 가장 짧은 시간이 걸리는 것이 사이클로이드 곡선이다. 이때 이 곡선의 매개변수 방정식은 밑의 두개의 방정식과 같다.

사이클로이드 곡선의 또다른 특징은 다른곳에 있더라도 출발점에서 동시에 출발하면 도착점에 동시에 도달한다는 점이다. 위의 사이클로이드 곡선에 공 3개를 아무곳에나 둔다고 가정한다. 도착점을 점B라고 하고 공을 굴리면 도착점에서 가까운 곳에서 굴린 공과 멀리 떨어진 곳에서 굴린 공이 점B에 동시에 도착한다. 이때 이 공의 진동주기는 다음과 같다.

자연에서도 사이클로이드 곡선이 사용되는데, 매가 토끼나 다른 동물들을 사냥하기 위에서 하늘에서 비행을 하다 땅으로 내려오면서 그리는 곡선이 바로 사이클로이드 곡선이다. 매가 사냥을 하기 위해서는 최대한 빨리 하늘에서 지상까지 비행해야 하므로 사이클로이드 곡선모양으로 비행을 하면 가장 빠른 속도로 사냥을 할 수 있다. 


또한 우리나라의 전통 가옥의 기와 지붕또한 사이클로이드 곡선과 유사하다. 비가 오게되면 지붕에 빗물이 고이게 되고, 지붕에 빗물이 고이면 나무가 썩기 때문에 지붕에서 빗물을 최대한 빠르게 내려보내기 위해서 기와 지붕을 사이클로이드와 거의 유사한 모양으로 짓는다. 



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