[수학] 피타고라스 정리의 여러 가지 증명 | 밸류체인타임스

안현준 인재기자
2024-03-02
조회수 2175

[밸류체인타임스=안현준 인재기자] 피타고라스 정리는 직각삼각형의 세 변의 길이가 a, b, c일 때 a와 b사이의 각도가 직각일 경우 a²+b²=c²가 성립한다는 정리다. 이 정리는 고대 그리스의 피타고라스가 발견했다고 하여 그의 이름이 붙여졌다. 피타고라스 정리는 중학교 2학년 2학기에 나온다. 교과서에는 잘 수록되지 않은 피타고라스 정리의 여러 가지 증명에 대해 알아보자. 


1)


첫 번째 그림에서 피타고라스 정리를 증명하면 다음과 같다. 먼저 빨간색, 파란색, 초록색, 핑크색 직각삼각형은 변의 길이가 a, b이고 그 사이의 각이 직각이므로 SAS합동이다. 이 직각삼각형들의 넓이의 합을 구하면 2ab가 된다.


그리고 가운데에 있는 정사각형의 넓이는 한 변이 c이므로 넓이가 c²이다. 합동인 4개의 직각삼각형들의 넓이와 가운데에 있는 정사각형의 넓이의 합은 c²+2ab이다. 가장 큰 정사각형의 넓이는 한 변이 (a+b)이므로 넓이는 (a+b)²가 된다. 이때 (가장 큰 정사각형의 넓이) = (합동인 4개의 직각삼각형) + (가운데의 정사각형)이므로 수식으로 나타내면 (a+b)² = 2ab + c²이다.


좌변의 (a+b)²을 풀면 a²+2ab+b²이 된다. 이때 양변에 2ab를 빼면 a²+b²=c²가 되므로 피타고라스 정리가 증명된다.


2)

두 번째 그림에서 피타고라스 정리를 증명하면 다음과 같다. 먼저 위의 그림에서 sinA의 값은 a/c가 된다. 그리고 cosA는 b/c가 된다. 이때 sin²A+cos²A=1이 되는데, 이 식에 값들을 넣게 되면 a²/c² + b²/c²=1이다. 양 변에 c²을 곱하면 a²+b²=c²으로 피타고라스 정리가 증명된다. 


3)

세번째 그림에서 피타고라스 정리를 증명하면 다음과 같다. 먼저 가장 큰 정사각형의 한변의 길이를 c라 하고 넓이를 c²라고 한다. 그리고 합동인 4개의 직각삼각형에서 가장 짧은 변의 길이를 a, 두번째로 짧은 변의 길이를 b라 한다.


왼쪽의 도형의 배치를 오른쪽처럼 바꾼다. 이때 전체 도형의 넓이는 c²으로 변하지 않는다. 오른쪽 도형에서 그려져 있는 점선대로 도형을 자른다. 점선을 따라 도형을 자른다면 작은 정사각형과 큰 정사각형이 생기게 된다. 이때 작은 정사각형은 한변의 길이가 직각삼각형에서 가장 짧은 변의 길이인 a이므로 넓이는 a²이 되고 큰 정사각형은 한변의 길이가 직각삼각형의 두번째로 짧은 변의 길이인 b이므로 넓이는 b²이 된다.


이때 도형의 전체 넓이는 변하지 않으므로 (도형 전체 넓이의 합) = (작은 정사각형의 넓이) + (큰 정사각형의 넓이)가 된다. 이를 수식으로 바꾸면 c²=a²+b² 되므로 피타고라스 정리가 증명된다.


4)


네번째로 피타고라스 정리를 증명하면 다음과 같다. 먼저 위의 원에서 반지름을 c라 한다. 그리고 지름 위에 직각삼각형을 그린다. 직각삼각형이 원의 둘레와 접하는 점을 B라 한다. 가장 짧은 변의 길이를 a, 두번째로 짧은 변의 길이를 b라 한다. 이때 직각삼각형을 그린 뒤 a의 왼쪽 부분은 c-a가 된다.


원의 둘레와 접하는 직각삼각형의 한 점에서 지름의 양끝에 선분을 긋는다. 선분을 그으면 더 큰 삼각형이 만들어지는데 이때 이 삼각형은 직각삼각형이 된다. 그리고 삼각형 ABD와 삼각형 BCD는 세각이 같은 AA닮음이므로 세변의 비율이 같다.


따라서 b : c-a = c+a : b가 성립한다. 이때 비에서는 외항의 곱과 내항의 곱이 같으므로

b²=(c-a)(c+a)가 된다. 이 식을 풀면 b²=c²-a²이다. 양변에 a²을 더하면 a²+b²=c²이 되므로 피타고라스 정리가 증명된다.


위에서 설명한 4가지의 피타고라스 정리의 증명외에도 400가지가 넘는 피타고라스 정리의 증명이 있다. 피타고라스 정리의 증명은 지금도 나오고 있다. 피타고라스의 정리의 증명을 직접 찾아보는 것도 수학에 대한 흥미를 키우는 하나의 좋은 방법이다.


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